Kalkulus : Komposisi Fungsi

19 Des 2011

Kalkulus : Komposisi Fungsi

Diposting oleh Funday di 14.24 . 19 Des 2011

Label: KALKULUS

Komposisi Fungsi

Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang akan menghasilkan sebuah fungsi baru.

Komposisi dua fungsi $f(x)$ dan $g(x)$ dinotasikan dengan simbol $(f \circ g)(x)$ atau $(g \circ f)(x)$ .

dimana

$(f\circ g)(x)=f(g(x))$

$(g\circ f)(x)=g(f(x))$

Sifat Komposisi Fungsi

$(g \circ f)(x) \neq (f \circ g)(x)$
$(f\circ (g\circ h))(x)=((f\circ g)\circ h)(x)$

Contoh :

diberikan fungsi :

${\color{Red} f(x)=2x+1}$

${\color{Blue} g(x)=3x^2}$

${\color{DarkGreen} h(x)=\frac{1}{x+4}}$

1. $(f\circ g)(x)$ = ….?

* fungsi $g(x)$ disubtitusikan ke fungsi $f(x)$

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&{\color{Red} f}({\color{Blue} g(x)})\\&=&{\color{Red} f}({\color{Blue} 3x^2})\\&=&{\color{Red} 2(}{\color{Blue} 3x^2}{\color{Red} )+1}\\(f\circ g)(x)&=&6x^2+1 \end{align*}$

2. $(g\circ h)(x)$ = ….?

* fungsi $h(x)$ disubtitusikan ke fungsi $g(x)$

$\begin{align*}(g\circ h)(x)&=&{\color{Blue} g}({\color{DarkGreen} h(x)})\\&=&{\color{Blue} g}({\color{DarkGreen} \frac{1}{x+4}})\\&=&{\color{Blue} 3}\left ({\color{DarkGreen} \frac{1}{x+4}} \right )^{\color{Blue} 2}\\&=&3\left (\frac{1}{x^2+8x+16} \right )\\(g\circ h)(x)&=&\frac{3}{x^2+8x+16} \end{align*}$

3. $(h\circ g\circ f)(x)$ =…?

* fungsi $f(x)$ disubtitusikan terlebih dahulu ke fungsi $g(x)$ nah, hasilnya baru disubtitusikan ke fungsi $h(x)$ , perhatikan warna mewakili subtitusi ….ok!

$\begin{align*}(h\circ g\circ f)(x)&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} g}({\color{Red} f(x)}))\\&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} g}({\color{Red} 2x+1}))\\&=&{\color{DarkGreen} h}({\color{Blue} 3}({\color{Red} 2x+1})^{\color{Blue} 2})\\&=&{\color{DarkGreen} h}(3(4x^2+4x+1))\\&=&{\color{DarkGreen} h}(12x^2+12x+3)\\&=&\frac{{\color{DarkGreen} 1}}{\left (12x^2+12x+3 \right ){\color{DarkGreen} +4}}\\&=&\frac{1}{12x^2+12x+7}\end{align*}$

Bagaimana contoh diatas???sudah cukup jelas,kan???!!
Berhati-hatilah dalam mensubtitusikan ya….

Mencari salah satu fungsi jika komposisi fungsi diketahui

1. Mencari $g(x)$ jika $f(x)$ dan $(f\circ g)(x)$ diketahui

contoh soal dan pembahasan :

Diketahui $(f\circ g)(x)=19-6x$ dan ${\color{Red} f(x)=3x+1}$ tentukan fungsi ${\color{Blue} g(x)}$ !

jawab :

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&19-6x\\{\color{Red} f}({\color{Blue} g(x)})&=&19-6x\\{\color{Red} 3(}{\color{Blue} g(x)}{\color{Red} )+1}&=&19-6x\\{\color{Red} 3(}{\color{Blue} g(x)}{\color{Red} )}&=&19-6x{\color{Red} -1}\\{\color{Blue} g(x)}&=&\frac{18-6x}{3}\\{\color{Blue} g(x)}&=&6-2x \end{align*}$

2. Mencari $f(x)$ jika $g(x)$ dan $(f\circ g)(x)$ diketahui

contoh soal dan pembahasan :

Diketahui $(f\circ g)(x)=2x+1$ dan ${\color{Blue} (g)(x)=x+3}$ tentukan ${\color{Red} f(x)}$ !

jawab :

$\begin{align*}(f\circ g)(x)&=&2x+1\\f({\color{Blue} g(x)})&=&2x+1\\f({\color{Blue} x+3})&=&2x+1\end{align*}$

Kita misalkan dulu :

$\begin{align*}{\color{Blue} x+3}&=&{\color{DarkGreen} y}\\x&=&{\color{DarkGreen} y-3}\end{align*}$

Subtitusikan kembali ke fungsi :

$\begin{align*}f({\color{Blue} x+3})&=&2x+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2({\color{DarkGreen} y-3})+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2y-6+1\\f({\color{DarkGreen} y})&=&2y-5\\f(x)&=&2x-5\end{align*}$